聚点**是什么(给一个**判断内点和聚点)

第2课时 **的表示

学 习 目 标

核 心 素 养

1.初步掌握**的两种表示方法——列举法、描述法,感受**语言的意义和作用.(重点)

2.会用**的两种表示方法表示一些简单**.(重点、难点)

1.通过学习描述法表示**的方法,培养数学抽象的素养.

2.借助描述法转化为列举法时的运算,培养数学运算的素养.

1.列举法

把**的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示**的方法叫做列举法.

2.描述法

一般地,设A是一个**,把**A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的**表示为{x∈A|P(x)},这种表示**的方法称为描述法.

思考:(1)不等式x-2<3的解集中的元素有什么共同特征?

(2)如何用描述法表示不等式x-2<3的解集?

提示:(1)元素的共同特征为x∈R,且x<5.

(2){x|x<5,x∈R}.

1.方程x2=4的解集用列举法表示为(  )

A.{(-2,2)}   B.{-2,2}

C.{-2} D.{2}

B [由x2=4得x=±2,故用列举法可表示为{-2,2}.]

2.用描述法表示函数y=3x+1图象上的所有点的是(  )

A.{x|y=3x+1} B.{y|y=3x+1}

C.{(x,y)|y=3x+1} D.{y=3x+1}

C [该**是点集,故可表示为{(x,y)|y=3x+1},选C.]

3.用描述法表示不等式4x-5<7的解集为________.

{x|x<3} [用描述法可表示为{x|x<3}.]

用列举法表示**

【例1】 用列举法表示下列给定的**:

(1)不大于10的非负偶数组成的**A;

(2)小于8的质数组成的**B;

(3)方程2×2-x-3=0的实数根组成的**C;

(4)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的**D.

[解] (1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10,所以A={0,2,4,6,8,10}.

(2)小于8的质数有2,3,5,7,

所以B={2,3,5,7}.

(3)方程2×2-x-3=0的实数根为-1,,

所以C=.

(4)由得

所以一次函数y=x+3与y=-2x+6的交点为(1,4),

所以D={(1,4)}.

用列举法表示**的3个步骤

(1)求出**的元素;

(2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次;

(3)用花括号括起来.

提醒:二元方程组的解集,函数图象上的点构成的**都是点的**,一定要写成实数对的形式,元素与元素之间用“,”隔开.如{(2,3),(5,-1)}.

1.用列举法表示下列**:

(1)满足-2≤x≤2且x∈Z的元素组成的**A;

(2)方程(x-2)2(x-3)=0的解组成的**M;

(3)方程组的解组成的**B;

(4)15的正约数组成的**N.

[解] (1)满足-2≤x≤2且x∈Z的元素有-2,-1,0,1,2,故A={-2,-1,0,1,2}.

(2)方程(x-2)2(x-3)=0的解为x=2或x=3,

∴M={2,3}.

(3)解得∴B={(3,2)}.

(4)15的正约数有1,3,5,15,故N={1,3,5,15}.

用描述法表示**

【例2】 用描述法表示下列**:

(1)比1大又比10小的实数组成的**;

(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的**;

(3)被3除余数等于1的正整数组成的**.

[解] (1){x∈R|1<x<10}.

(2)**的代表元素是点,用描述法可表示为{(x,y)|x<0,且y>0}.

(3){x|x=3n+1,n∈N}.

描述法表示**的2个步骤

2.

用描述法表示下列**:

(1)函数y=-2×2+x图象上的所有点组成的**;

(2)不等式2x-3<5的解组成的**;

(3)如图中阴影部分的点(含边界)的**;

(4)3和4的所有正的公倍数构成的**.

[解] (1)函数y=-2×2+x的图象上的所有点组成的**可表示为{(x,y)|y=-2×2+x}.

(2)不等式2x-3<5的解组成的**可表示为{x|2x-3<5},即{x|x<4}.

(3)图中阴影部分的点(含边界)的**可表示为.

(4)3和4的最小公倍数是12,因此3和4的所有正的公倍数构成的**是{x|x=12n,n∈N*}.

,

**表示方法的综合应用

[探究问题]

下面三个**:

①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1}.

(1)它们各自的含义是什么?

(2)它们是不是相同的**?

提示:(1)**①{x|y=x2+1}的代表元素是x,满足条件y=x2+1中的x∈R,所以实质上{x|y=x2+1}=R;

**②的代表元素是y,满足条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1,所以实质上{y|y=x2+1}={y|y≥1};

**③{(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),可以认为是满足y=x2+1的数对(x,y)的**,也可以认为是坐标平面内的点(x,y)构成的**,且这些点的坐标满足y=x2+1,所以{(x,y)|y=x2+1}={P|P是抛物线y=x2+1上的点}.

(2)由(1)中三个**各自的含义知,它们是不同的**.

【例3】 **A={x|kx2-8x+16=0},若**A中只有一个元素,求实数k的值组成的**.

[思路点拨]

[解] (1)当k=0时,方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得x=2,满足题意;

(2)当k≠0时,要使**A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,则方程kx2-8x+16=0只有一个实数根,所以Δ=64-64k=0,解得k=1,此时**A={4},满足题意.

综上所述,k=0或k=1,故实数k的值组成的**为{0,1}.

1.(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”,其他条件不变,求实数k的值组成的**.

[解] 由题意可知,方程kx2-8x+16=0有两个不等实根,故即k<1且k≠0.

所以实数k组成的**为{k|k<1且k≠0}.

2.(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”,其他条件不变,求实数k的取值**.

[解] 由题意可知,方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根.

①当k=0时,由-8x+16=0得x=2,符合题意;

②当k≠0时,要使方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根,则Δ=64-64k≥0,即k≤1.

综合①②可知,实数k的取值**为{k|k≤1}.

1.若已知**是用描述法给出的,读懂**的代表元素及其属性是解题的关键,如例3中**A中的元素就是所给方程的根,由此便把**的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.

2.在学习过程中要注意数学素养的培养,如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想.

1.表示一个**可以用列举法,也可以用描述法,一般地,若**元素为有限个,常用列举法,**元素为无限个,多用描述法.

2.处理描述法给出的**问题时,首先要明确**的代表元素,特别要分清数集和点集;其次要确定元素满足的条件是什么.

1.思考辨析

(1){1}=1.(  )

(2){(1,2)}={x=1,y=2}.(  )

(3){x∈R|x>1}={y∈R|y>1}.(  )

(4){x|x2=1}={-1,1}.(  )

[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√

2.由大于-3且小于11的偶数所组成的**是(  )

A.{x|-3<x<11,x∈Z}

B.{x|-3<x<11}

C.{x|-3<x<11,x=2k}

D.{x|-3<x<11,x=2k,k∈Z}

D [由题意可知,满足题设条件的只有选项D,故选D.]

3.一次函数y=x-3与y=-2x的图象的交点组成的**是(  )

A.{1,-2}     B.{x=1,y=-2}

C.{(-2,1)} D.{(1,-2)}

D [由得∴两函数图象的交点组成的**是{(1,-2)}.]

4.设**A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,试用列举法表示**A.

[解] ∵4∈A,∴16-12+a=0,∴a=-4,

∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.

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