第2课时 集合的表示
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学 习 目 标 |
核 心 素 养 |
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1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用．(重点) 2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点) |
1.通过学习描述法表示集合的方法，培养数学抽象的素养． 2．借助描述法转化为列举法时的运算，培养数学运算的素养. |
1．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．描述法
一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
思考：(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？
(2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？
提示：(1)元素的共同特征为x∈R，且x<5.
(2){x|x<5，x∈R}．
1．方程x2＝4的解集用列举法表示为( )
A．{(－2,2)} B．{－2,2}
C．{－2} D．{2}
B [由x2＝4得x＝±2，故用列举法可表示为{－2,2}．]
2．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是( )
A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1}
C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1}
C [该集合是点集，故可表示为{(x，y)|y＝3x＋1}，选C.]
3．用描述法表示不等式4x－5<7的解集为________．
{x|x<3} [用描述法可表示为{x|x<3}．]
用列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；
(2)小于8的质数组成的集合B；
(3)方程2×2－x－3＝0的实数根组成的集合C；
(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
[解] (1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}．
(2)小于8的质数有2,3,5,7，
所以B＝{2,3,5,7}．
(3)方程2×2－x－3＝0的实数根为－1，，
所以C＝.
(4)由得
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，
所以D＝{(1,4)}．
用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素；
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
(3)用花括号括起来.
提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.如{(2，3)，(5，－1)}.
1．用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；
(3)方程组的解组成的集合B；
(4)15的正约数组成的集合N.
[解] (1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素有－2，－1,0,1,2，故A＝{－2，－1,0,1,2}．
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解为x＝2或x＝3，
∴M＝{2,3}．
(3)解得∴B＝{(3,2)}．
(4)15的正约数有1,3,5,15，故N＝{1,3,5,15}．
用描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合：
(1)比1大又比10小的实数组成的集合；
(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；
(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合．
[解] (1){x∈R|1<x<10}．
(2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}．
(3){x|x＝3n＋1，n∈N}．
描述法表示集合的2个步骤
2.
用描述法表示下列集合：
(1)函数y＝－2×2＋x图象上的所有点组成的集合；
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合；
(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合；
(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．
[解] (1)函数y＝－2×2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2×2＋x}．
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．
(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为.
(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．
,
集合表示方法的综合应用
[探究问题]
下面三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们各自的含义是什么？
(2)它们是不是相同的集合？
提示：(1)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R，所以实质上{x|y＝x2＋1}＝R；
集合②的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；
集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．
(2)由(1)中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合．
【例3】 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
[思路点拨]
[解] (1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；
(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．
1．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合．
[解] 由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根，故即k<1且k≠0.
所以实数k组成的集合为{k|k<1且k≠0}．
2．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值集合．
[解] 由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．
①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；
②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1.
综合①②可知，实数k的取值集合为{k|k≤1}．
1．若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3中集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．
2．在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．
1．表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法，一般地，若集合元素为有限个，常用列举法，集合元素为无限个，多用描述法．
2．处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集；其次要确定元素满足的条件是什么.
1．思考辨析
(1){1}＝1.( )
(2){(1,2)}＝{x＝1，y＝2}．( )
(3){x∈R|x>1}＝{y∈R|y>1}．( )
(4){x|x2＝1}＝{－1,1}．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( )
A．{x|－3<x<11，x∈Z}
B．{x|－3<x<11}
C．{x|－3<x<11，x＝2k}
D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}
D [由题意可知，满足题设条件的只有选项D，故选D.]
3．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是( )
A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2,1)} D．{(1，－2)}
D [由得∴两函数图象的交点组成的集合是{(1，－2)}．]
4．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，试用列举法表示集合A.
[解] ∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，
∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．
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